Comments about Hinged Dissections: Swinging & Twisting



Jean-Paul Delahaye, in his column in Pour La Science

Jean-Paul Delahaye writes a column entitled "Logique et calcul" ("Logic and calculation"), for Pour La Science, the French edition of Scientific American. In the December 2002 issue (number 302) of Pour La Science, he has written about my book and related material in "Découpages articulés" ("Hinged dissections"), pages 164-169. Excerpting from the column:
«Dans certains domaines mathématiques, les démonstrations sont ce que l'on nommes des «ânes qui trottent» : unes fois l'énoncé formulé, une méthode s'impose qui amène doucement et sûrement la solution (les élèves moyens adorent et les bons s'ennuient). À l'opposé, d'autres domaines demandent imagination et créativité et aucune garantie de réussite ne peut être donnée. Les découpages géométriques minimaux appartiennent à ce second genre.»
Translation (with the assistance of babelfish.altavista.com, a French-English dictionary, and Jan Vitek): "In certain mathematical fields, the demonstrations are what one would call the "donkeys which trot": once the statement is formulated, a method is prescribed which brings gently and surely the solution (the average pupils adore this and the good ones are bored). In contrast, other fields require imagination and creativity and no guarantee of success can be given. Minimal geometrical dissections belong to this second kind."
«La dissection pour passer du triangle équilatéral au carré est remarquable, car elle possède une propriété inattendue : certains coins des quatre pièces de la dissection peuvent être liés par des charnières, le tout formant une sorte de collier à quatre grosses perles polygonales. L'assemblage articulé se plie en carré ou en triangle selon la façon dont on fait jouer les articulations, dans une sens ou dans un autre. ... [C]haque fois que deux polygones ayant même aire sont donnés peut-on créer un découpage avec charnières qui se replie au choix en l'un ou en l'autre des polygones. ... Cette question de géométrie élémentaire n'est pas résolue aujourd'hui, mais les nombreux découpages articulés découverts ces dernières années par Greg Frederickson et quelques autres passionnés suggèrent que oui. G. Frederickson à force de découvrir des solutions à tous les problèmes qu'il se posait est aujourd'hui persuadé que cette conjecture des découpages articulés doit être vraie. Qui la démontrera?»
Translation: "The dissection of an equilateral triangle to a square is remarkable, because it has an unexpected property: certain corners of the four pieces of the dissection can be connected with hinges, the whole forming a kind of necklace with four large polygonal pearls. The hinged assembly becomes either square or a triangle, depending on which way one makes swings the hinges, in one direction or in the other. ... [W]henever two polygons have the same area, can one create a dissection with hinges which will fold up to give one and then the other of the polygons? ... This question of elementary geometry is not resolved yet, but many hinged dissections discovered in the few last years by Greg Frederickson and some other passionate ones suggest yes. G. Frederickson, through the discovery of solutions to all the problems which he posed, is persuaded today that this conjecture about hinged dissections must be true. Who will show it?"
«Un point complet sur ces dissections est présenté dans le livre que vient de publier G. Frederickson intitulé Hinged Dissections: Swinging & Twisting (Cambridge University Press, 2002). Ce livre admirablement illustré est un trésor de beautés géométriques prouvant à ceux qui en doutaient que la géométrie du plan est toujours vivante et que les mathématiques divertissantes sont susceptibles de produire des formes inattendues et des objets mécaniques nouveaux et inespérés. Certaines animations de découpages avec charnières peuvent être admirées sur le site internet de G. Frederickson: http://www.cs.purdue.edu/book2/hingdanim.html»
Translation: "The last word on these dissections is presented in the book which has just been published by G. Frederickson, entitled Hinged Dissections: Swinging & Twisting (Cambridge University Press, 2002). This admirably illustrated book is a treasure of geometrical beauties proving to those who doubted it that the geometry of the plane is always alive and that diverting mathematics is likely to produce unexpected forms and new and unhoped-for mechanical objects. Certain animations of dissections with hinges can be admired on the internet site of G. Frederickson: http://www.cs.purdue.edu/book2/hingdanim.html"
«Contrairement à ce qu'on croit parfois en sortant d'un cours de mathématiques, produire de bonnes démonstrations ne consiste pas à décomposer un raisonnement en petits morceaux dont les liens deviennent impossibles à appréhender globalement, mais consiste à produire chez son interlocutor une conviction totale qu'il pourra transmettre et qui lui donnera le sentiment profond de voir ce qui se passe. La formalisation est certes utile (voire inévitable dans certains domaines), mais il serait stupide lorsque les figures parlent d'elles-mêmes (même s'il faut les regarder longtemps) de procéder autrement que par figures. Regardez attentivement le découpage articulé pour le dodécagone et le carré, en repérant les segments de mêmes longueurs, en évaluant les angles (dans cet exemple c'est particulièrement facile car tous sont multiple de 15 degrés), et non pas approximatif. Pour cette raison, les livres sur les découpages géométriques ne comportent aucune démonstration longue et pénible, tout y est exclusivement graphique... de la beauté à l'état pur.»
Translation: "Contrary to what one believes sometimes after a mathematics course, producing good demonstrations does not consist of breaking up the reasoning into small pieces whose bonds become impossible to comprehend globally, but consists in producing in its speaker a total conviction which he will be able to transmit and which will give him the major sense of what occurs. Formalization is certainly useful (even inevitable in certain fields), but it would be stupid when the figures speak for themselves (even if they need to be looked at a long time) to proceed differently than with figures. Look carefully at the hinged dissection of the dodecagon and the square, locating the segments of the same lengths, evaluating the angles (in this example it is particularly easy because all are multiples of 15 degrees), and do not approximate. For this reason, the books on geometric dissections do not comprise long and painful demonstrations; all is exclusively graphic there... of beauty in a pure state."

Jean-Paul Delahaye, in his book Les inattendus mathématiques: Art, casse-tête, paradoxes, superstitions

Chapter 7 (pages 80-87) of Jean-Paul Delahaye's book (Belin, Pour La Science, 2004) appears to be an exact transcription of his December 2002 column, which was, of course, very complimentary.

Notices of the AMS, December 2002 - November 2003

The book appeared in the Book List starting in the December 2002 issue (vol. 49, no. 11) of the Notices of the AMS, on page 1408. The Notices are a publication of the American Mathematical Society.
"The Book List highlights books that have mathematical themes and hold appeal for a wide audience, including mathematicians, students, and a significant portion of the general public."

Scott Kim, in his February 2004 column in Discover Magazine

Scott Kim featured hinged dissections as one of two topics in his "Bogglers" column, "Going to Pieces", in the February 2004 issue (vol. 5, no. 2) of Discover Magazine, on page 83. The magazine is published by Buena Vista Magazines, a subsidiary of Disney Publishing Worldwide. Scott wrote:
"Tangrams are just one of a large class known as dissection puzzles. Purdue computer science professor Greg Frederickson, author of Dissections: Plane and Fancy (Cambridge University Press, 1997), is a connoisseur of these geometric marvels. His recent book Hinged Dissections: Swinging and Twisting (Cambridge University Press, 2002) starts with a wonderful four-piece dissection of a triangle to a square that was presented by Henry Ernest Dudeney in his 1907 book The Canterbury Puzzles."

Jean-Paul Delahaye, again in his column in Pour La Science

Jean-Paul Delahaye is still writing a column entitled "Logique et calcul" ("Logic and calculation"), for Pour La Science, the French edition of Scientific American. In the December 2008 issue (number 374) of Pour La Science, he wrote about the results by Timothy G. Abbott, Zachary Abel, David Charlton, Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, and Scott D. Kominers, that establish that there exists a hinged dissection between any pair of polygons of equal area, in "La géométrie du bricolage" ("The geometry of amateurs"), pages 100-105. (See Open question resolved!.) Delahaye still had nice things to say about my book(s). Excerpting from the column:
Le problème des dissections est l'un des plus prisés des amateurs de divertissements mathématiques. Il s'agit de découper une figure géométrique pour qu'avec les morceaux obtenus on puisse en reconstituer une seconde. Harry Lindgren (1912-1992) fut le grand spécialiste de ces questions, son successeur est Greg Frederickson. Leurs livres sont des recueils de merveilles géométriques d'une invraisemblable ingéniosité.
Translation (with the assistance of the Google translation program): "The problem of dissection is one of the most popular of amateur mathematical entertainments. It is to cut a geometric figure into pieces that can be rearranged to obtain a second figure. Harry Lindgren (1912-1992) was the leading expert in these matters; his successor is Greg Frederickson. Their books are collections of geometric wonders of an incredible ingenuity."
Certaines dissections ont une propriété particulière : les polygones de la dissection se lient par leurs sommets à l'aide de charnières pivotantes de façon que, par une simple manipulation des pièces ainsi rendues solidaires, on passe du premier polygone au second. C'est ce que l'on nomme une dis- section articulée. La plus célèbre est celle, proposée en 1902 par Henry Dudeney (1857- 1930), qui fait passer du carré au triangle équilatéral (voir la figure ci-dessus). G. Frederickson leur a consacré deux livres.
Translation: "Some dissections have a particular property: The polygons in the dissection have their summits connected with pivoting hinges so that by a simple manipulation the pieces move from the first polygon to the second. This is called a hinged dissection. The most famous is the one proposed in 1902 by Henry Dudeney (1857-1930) that transforms the square into an equilateral triangle. G. Frederickson has devoted two books to such dissections."
Une question naturelle et lancinante, jusqu'à très récemment non résolue, est : Pour tout couple de polygones A et B de même aire, existe-t-il une dissection articulée faisant passer de A à B ? G. Frederickson, qui a traité un grand nombre de cas particuliers, pensait que oui.
Translation: "A natural question, nagging and until recently unresolved, is: For any pair of polygons A and B of the same area, is there a hinged dissection transforming A into B? G. Frederickson, who has treated a great number of cases, thought so."
Les découpages articulés utilisant un très petit nombre de pièces, souvent optimaux, que les livres de G. Frederickson exposent, sont bien plus économiques que ceux produits par le schéma théorique des six chercheurs : la généralité, comme souvent en mathématiques, se paye par une moindre finesse.
Translation: "The hinged dissections using a very small number of pieces, often optimal, that the books of G. Frederickson feature, are much more economical than those produced by the theoretical approach of the six researchers: Generality, as is often the case in mathematics, is paid for with less finesse."

Last updated January 29, 2009.