Jean-Paul Delahaye writes a column
entitled "Logique et calcul" ("Logic and calculation"),
for
Pour La Science, the French edition of Scientific American.
In the December 2002 issue (number 302) of Pour La Science,
he has written about my book and related material in "Découpages articulés"
("Hinged dissections"), pages 164-169.
Excerpting from the column:
«Dans certains domaines mathématiques,
les démonstrations sont ce que l'on nommes des
«ânes qui trottent» :
unes fois l'énoncé formulé,
une méthode s'impose qui amène doucement
et sûrement la solution (les élèves
moyens adorent et les bons s'ennuient).
À l'opposé, d'autres domaines demandent
imagination et créativité et aucune garantie
de réussite ne peut être donnée.
Les découpages géométriques minimaux
appartiennent à ce second genre.»
Translation (with the assistance of babelfish.altavista.com,
a French-English dictionary, and Jan Vitek):
"In certain mathematical fields, the demonstrations are what one would call the
"donkeys which trot": once the statement is formulated, a method is
prescribed which brings gently and surely the solution
(the average pupils adore this and the good ones are bored).
In contrast, other fields require imagination and creativity
and no guarantee of success can be given.
Minimal geometrical dissections belong to this second kind."
«La dissection pour passer du triangle équilatéral
au carré est remarquable, car elle possède une
propriété inattendue : certains coins des quatre pièces
de la dissection peuvent être liés par des charnières,
le tout formant une sorte de collier à quatre grosses perles
polygonales.
L'assemblage articulé se plie en carré ou en triangle
selon la façon dont on fait jouer les articulations,
dans une sens ou dans un autre.
...
[C]haque fois que deux polygones ayant même
aire sont donnés peut-on créer un découpage avec
charnières qui se replie au choix en l'un ou en l'autre des polygones.
...
Cette question de géométrie élémentaire
n'est pas résolue aujourd'hui,
mais les nombreux découpages articulés
découverts ces dernières années
par Greg Frederickson et quelques autres passionnés
suggèrent que oui.
G. Frederickson à force de découvrir des solutions
à tous les problèmes qu'il se posait est
aujourd'hui persuadé que cette conjecture
des découpages articulés doit être vraie.
Qui la démontrera?»
Translation:
"The dissection of an equilateral triangle to a square is remarkable,
because it has an unexpected property: certain corners of the four pieces
of the dissection can be connected with hinges, the whole forming a kind of
necklace with four large polygonal pearls. The hinged assembly becomes either
square or a triangle, depending on which way one makes swings the hinges,
in one direction or in the other.
...
[W]henever two polygons have the same area, can one create a dissection with hinges which will fold up to give one and then the other of the polygons?
...
This question of elementary geometry is not resolved yet,
but many hinged dissections discovered in the few last years
by Greg Frederickson and some other passionate ones suggest yes.
G. Frederickson, through the discovery of solutions to all the problems
which he posed, is persuaded today that this conjecture about hinged
dissections must be true. Who will show it?"
«Un point complet sur ces dissections est présenté
dans le livre que vient de publier G. Frederickson intitulé
Hinged Dissections: Swinging & Twisting (Cambridge
University Press, 2002).
Ce livre admirablement illustré est un trésor de
beautés géométriques prouvant
à ceux qui en doutaient que la géométrie
du plan est toujours vivante et que les mathématiques
divertissantes sont susceptibles de produire des formes
inattendues et des objets mécaniques nouveaux et
inespérés.
Certaines animations de découpages avec charnières peuvent être admirées sur le site internet de
G. Frederickson: http://www.cs.purdue.edu/book2/hingdanim.html»
Translation:
"The last word on these dissections is presented in the book which has just
been published by G. Frederickson, entitled Hinged Dissections:
Swinging & Twisting (Cambridge University Press, 2002).
This admirably illustrated book is a treasure of geometrical beauties proving
to those who doubted it that the geometry of the plane is always alive
and that diverting mathematics is likely to produce unexpected forms
and new and unhoped-for mechanical objects. Certain animations of dissections
with hinges can be admired on the internet site of G. Frederickson: http://www.cs.purdue.edu/book2/hingdanim.html"
«Contrairement à ce qu'on croit parfois en sortant d'un
cours de mathématiques, produire de bonnes démonstrations
ne consiste pas à décomposer un raisonnement en petits
morceaux dont les liens deviennent impossibles à appréhender
globalement, mais consiste à produire chez son interlocutor
une conviction totale qu'il pourra transmettre et qui lui donnera le
sentiment profond de voir ce qui se passe.
La formalisation est certes utile
(voire inévitable dans certains domaines),
mais il serait stupide lorsque les figures parlent d'elles-mêmes
(même s'il faut les regarder longtemps)
de procéder autrement que par figures.
Regardez attentivement le découpage articulé
pour le dodécagone et le carré,
en repérant les segments de mêmes longueurs,
en évaluant les angles (dans cet exemple c'est
particulièrement facile car tous sont multiple de 15 degrés),
et non pas approximatif.
Pour cette raison, les livres sur les découpages
géométriques ne comportent aucune démonstration
longue et pénible, tout y est exclusivement graphique...
de la beauté à l'état pur.»
Translation:
"Contrary to what one believes sometimes after a mathematics course,
producing good demonstrations does not consist of breaking up the reasoning
into small pieces whose bonds become impossible to comprehend globally,
but consists in producing in its speaker a total conviction which he will be
able to transmit and which will give him the major sense of what occurs.
Formalization is certainly useful (even inevitable in certain fields), but it would be stupid when the figures speak for themselves (even if they need to be
looked at a long time) to proceed differently than with figures.
Look carefully at the hinged dissection of the dodecagon and the square, locating the segments of the same lengths, evaluating the angles (in this
example it is particularly easy because all are multiples of 15 degrees),
and do not approximate. For this reason, the books on geometric dissections
do not comprise long and painful demonstrations; all is exclusively graphic
there... of beauty in a pure state."
Chapter 7 (pages 80-87) of Jean-Paul Delahaye's book
(Belin, Pour La Science, 2004)
appears to be an exact transcription
of his December 2002 column,
which was, of course, very complimentary.
The book appeared in the Book List starting in the December 2002 issue
(vol. 49, no. 11) of the
Notices of the AMS,
on page 1408.
The Notices are a publication of the
American Mathematical Society.
"The Book List highlights books that have mathematical themes and hold
appeal for a wide audience, including mathematicians, students,
and a significant portion of the general public."
Scott Kim
has been an outstanding puzzle master.
He featured hinged dissections as one of two topics
in his "Bogglers" column, "Going to Pieces",
in the February 2004 issue
(vol. 5, no. 2) of
Discover Magazine,
on page 83.
The magazine was published by Buena Vista Magazines,
a subsidiary of Disney Publishing Worldwide. Scott wrote:
"Tangrams are just one of a large class known as dissection puzzles.
Purdue computer science professor Greg Frederickson, author of
Dissections: Plane and Fancy (Cambridge University Press, 1997),
is a connoisseur of these geometric marvels.
His recent book Hinged Dissections: Swinging and Twisting
(Cambridge University Press, 2002)
starts with a wonderful four-piece dissection of a triangle
to a square that was presented by Henry Ernest Dudeney in his 1907
book The Canterbury Puzzles."
Jean-Paul Delahaye is still writing a column
entitled "Logique et calcul" ("Logic and calculation"),
for
Pour La Science, the French edition of Scientific American.
In the December 2008 issue (number 374) of Pour La Science,
he wrote about the results by Timothy G. Abbott, Zachary Abel, David Charlton,
Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, and Scott D. Kominers,
that establish that there exists
a hinged dissection between any pair of polygons of equal area,
in "La géométrie du bricolage"
("The geometry of amateurs"), pages 100-105.
(See Open question resolved!.)
Delahaye still had nice things to say about my book(s).
Excerpting from the column:
Le problème des dissections
est l'un des plus prisés des
amateurs de divertissements
mathématiques. Il s'agit de
découper une figure géométrique pour qu'avec les morceaux
obtenus on puisse en reconstituer une seconde.
Harry Lindgren (1912-1992) fut le grand
spécialiste de ces questions, son successeur
est Greg Frederickson. Leurs livres sont
des recueils de merveilles géométriques
d'une invraisemblable ingéniosité.
Translation (with the assistance of the Google translation program):
"The problem of dissection is one of the most popular of
amateur mathematical entertainments.
It is to cut a geometric figure into pieces that can be rearranged
to obtain a second figure.
Harry Lindgren (1912-1992) was the leading expert in these matters;
his successor is Greg Frederickson.
Their books are collections of geometric wonders
of an incredible ingenuity."
Certaines dissections ont une propriété
particulière : les polygones de la dissection
se lient par leurs sommets à l'aide de charnières
pivotantes de façon que, par une simple
manipulation des pièces ainsi rendues solidaires,
on passe du premier polygone au
second. C'est ce que l'on nomme une dis-
section articulée. La plus célèbre est celle,
proposée en 1902 par Henry Dudeney (1857-
1930), qui fait passer du carré au triangle
équilatéral (voir la figure ci-dessus).
G. Frederickson leur a consacré deux livres.
Translation:
"Some dissections have a particular property:
The polygons in the dissection have their summits connected
with pivoting hinges so that by a simple manipulation
the pieces move from the first polygon to the second.
This is called a hinged dissection.
The most famous is the one proposed in 1902
by Henry Dudeney (1857-1930) that transforms the square
into an equilateral triangle.
G. Frederickson has devoted two books to such dissections."
Une question naturelle et lancinante,
jusqu'à très récemment non résolue, est :
Pour tout couple de polygones A et B de
même aire, existe-t-il une dissection
articulée faisant passer de A à B ?
G. Frederickson, qui a traité un grand
nombre de cas particuliers, pensait que oui.
Translation:
"A natural question, nagging and until recently unresolved,
is: For any pair of polygons A and B of the same area,
is there a hinged dissection transforming A into B?
G. Frederickson, who has treated a great number of cases,
thought so."
Les découpages articulés
utilisant un très petit nombre de
pièces, souvent optimaux, que les livres
de G. Frederickson exposent, sont bien plus
économiques que ceux produits par le
schéma théorique des six chercheurs : la
généralité, comme souvent en mathématiques,
se paye par une moindre finesse.
Translation:
"The hinged dissections using a very small number of pieces,
often optimal, that the books of G. Frederickson feature,
are much more economical than those produced by the
theoretical approach of the six researchers:
Generality, as is often the case in mathematics,
is paid for with less finesse."
David Bailey - in his webpages "David Bailey's World of Escher-like Tessellations"
"Perhaps somewhat out of mainstream interest, of a specialised branch of dissections. Nonetheless, it remains full of interest. Has asides in the form of "Curious Case" and "Turnabout", with much on Dudeney."
Last updated January 29, 2009.